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高等微積分介紹

[本文轉錄自 Freshman 看板]
 
 作者 Hyuui (由駱駝變為獅子)                               站內 Sophomore
 標題 [課程] 高等微積分(數學系大二必修)
 時間 2008/02/17 Sun 23:41:11
 
《高等微積分》
數學系大二必修
 
以微積分為始,建構實數系統的嚴謹理論基礎,
並作為實變函數論的初步引導,包括以下主題:
 
歐幾里得空間、點集拓樸、緊緻與連通集合、
連續的映射、均勻收斂、函數的微分與積分理論、
反函數與隱函數定理及其應用、傅立葉分析。
 
高等微積分是數學系最重要的一門基礎課程,強調抽象概念,
提供嚴謹的邏輯推理訓練、培養縝密的數學思考能力。
可以說,學過高等微積分才懂得數學家的「行話」,
並銜接更高階的數學課程。
 
只讀懂課本的觀念是絕對不夠的!
讀高微不做習題,可說是在欣賞數學而不是學數學了。
 
高微課本的特色﹝或許可以說數學系課本的特色?﹞
就是每一樣東西都定義得清楚又簡潔,沒有一大堆的廢話敘述。
但讀懂了定義與做得出題目完全是兩回事,
而且很快地你就會發現:絕大部分的時間都會花在後者上。
 
解題的過程就是不斷的思考、翻書、與人討論、
找出剛寫下證明的漏洞、修改或放棄、再嘗試新方法...
痛苦地掙扎是必經過程,直到每個步驟都是完美無缺為止,
這就是數學證明。
 
沒有捷徑。
 
by 10黃士修
 
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Introduction to Advanced Calculus(physical explanation)
 
一般而言,由於高微課程中充滿了大量的抽象語言和意象,
使得他被視為是純數學的一環
但是如果我們以物理中的數學為例子來看的話
高微中的東西其實是那些物理式子之所以成立所必不可缺的要素
舉個例子來說,在運用數學推導或計算物理式子的時候,
我們常遇到積分符號和微分符號次序顛倒
某個函數突然就被展開成Fourier Series,然而算出來後還是對的
或是偏微分符號之間互相調換但等號成立(ex:d/dt d/dx=d/dx d/dt)
這些在物理系學生來說是家常便飯的東西,到了數學系卻有不同的看法
就以以上例子,數學系討論的是他們為什麼會成立,
而且會發現這些式子成立必須有一大堆的前提
換句話說現實空間其實是一個非常完美的空間,
以至於物理學家忽略了相當多的條件
而這些被物理學家忽略的東西很多都是以高微為基礎的高等數學所描述的
當然現階段高微還沒有能幫的上物理的地方
不過我建議日後要走理論物理的人應該上一上高微,相信應該會有幫助
 
by 10李育浚
 
 
課本:
J. Marsden & M. Hoffman, Elementary Classical Analysis, 2nd edition
 
參考書:
T. Apostol, Mathematical Analysis, 2nd edition
D. Widder, Advanced Calculus, 2nd edition
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition
永倉安次郎《細說高等微積分-單變數函數篇》﹝另有題庫﹞
永倉安次郎《細說高等微積分-多變數函數篇》﹝另有題庫﹞
 
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 ◤◥ Origin: 清華理雙˙理所當然天下無雙 ipcs.twbbs.org
 ◣◢ Author: Hyuui u9520121.LI.ab.nthu.edu.tw 發表
編輯: shuitun         來自: 140.114.186.80       (07/04 05:20)
 
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